Diferencia entre números racionales e irracionales

El término «números» trae a la mente lo que generalmente se clasifican como valores enteros positivos mayores que cero. Otras clases de números incluyen enteros y fracciones, Complicado y numeros reales y también valores enteros negativos.

Ampliando aún más la clasificación de los números, vemos razonable y irracional números. Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción. En otras palabras, el número racional se puede escribir como una razón de dos números.

Consideremos, por ejemplo, el número 6. Se puede escribir como la razón de dos números a saber. 6 y 1que conduce a la proporción 6/1. Lo mismo, 2/3es un número racional, escrito como una fracción.

Podemos, por lo tanto, definir un número racional como un número escrito en forma de fracción, donde el numerador (el número de arriba) y el denominador (el número de abajo) son números enteros. Entonces, por definición, todo número entero es también un número racional.

Una razón de dos números grandes como (129,367,871)/(547.724.863) también sería un buen ejemplo de un número racional por la sencilla razón de que tanto el numerador como el denominador son números enteros.

Por el contrario, cualquier número que no se puede expresar como fracción o razón se llama número irracional. El ejemplo más comúnmente citado es un número irracional. 2 (1. 414213…). Otro ejemplo común de un número irracional es la constante numérica π (3. 141592…).

Un número irracional se puede escribir como decimal, pero no como fracción. Los números irracionales no se usan a menudo en la vida cotidiana a pesar de que existen en la recta numérica. Hay un número infinito de números irracionales en el medio 0 y 1 en la recta numérica. Un número irracional tiene un número infinito de dígitos no recurrentes a la derecha del punto decimal.

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Tenga en cuenta que el valor se cita a menudo de 22/7 por la constante π en realidad solo hay un valor π. Por definición, la circunferencia de un círculo dividida por el doble de su radio es el valor de π. Esto da como resultado múltiples valores de πincluyendo pero no limitado a, 333/106, 355/113 y así sucesivamente1.

Solo hay raíces cuadradas de números cuadrados; es decir, raíces cuadradas de la cuadrados perfectos lo cual es razonable.

√1= 1 (Razonable)

√2(irracional)

√3(irracional)

√4= 2 (Razonable)

√5, √6, √7, √8 (irracional)

√9= 3 (Racional) y así sucesivamente.

Además, observamos, pero el nortelas raíces denortelas potencias que son racionales. Por lo tanto, los 6to Raíz de 64 es razonable, porque 64 hay un 6to poder, es decir, el 6to el poder de 2. Pero el 6to Raíz de 63 irracional. 63 no es perfecto 6el energía.

Sin duda, la representación decimal de lo irracional entra en escena y crea algunos resultados interesantes.

Cuando expresamos unrazonable número como un decimal, entonces cualquiera será el decimal preciso (como en 1/5= 0.20) o será impreciso (como en, 1/3≈ 0. 3333). En cualquier caso, habrá un patrón de dígitos predecible. Tenga en cuenta cuandoirracional Un número se expresa como un decimal, entonces obviamente será impreciso, porque de lo contrario, el número sería racional.

Además, no habrá un patrón de dígitos predecible. Por ejemplo,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Ahora, con los números racionales, nos encontramos de vez en cuando 1/11 = 0,0909090.

Utilice ambos signos iguales (=) y tres puntos (elipse) lo que implica que aunque no se puede expresar 1/11 exactamente como un decimal, todavía podemos aproximarlo a tantos dígitos decimales como se permita estar cerca de 1/11.

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Entonces la forma decimal de 1/11 considerado impreciso. Del mismo modo, la forma decimal de ¼ que es 0,25, precisamente.

Llegando a la forma decimal de los números irracionales, siempre serán imprecisos. Continuando con el ejemplo de 2cuando escribimos √2 = 1.41421356237. . . (Nótese el uso de puntos suspensivos), implica inmediatamente que no hay decimal para √2 será preciso. Además, no habrá un patrón de dígitos predecible. Usando conceptos de métodos numéricos, nuevamente, podemos aproximar razonablemente tantos dígitos decimales al punto al que estamos cerca. √2.

Ninguna nota sobre números racionales e irracionales puede terminar sin la prueba obligatoria de por qué √2 es irracional. Al hacerlo, también aclaramos, en el ejemplo clásico de un prueba continuaradiación.

Supongamos que √2 es racional. Eso significa que lo expresamos como una razón de dos números enteros, digamos pags y q.

√2 = p/q

No es sorprendente, pags y q no tienen factores comunes, porque si los hubiera, los habríamos cancelado del numerador y del denominador.

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, terminamos con,

2 = pag2 /q2

Esto se puede escribir convenientemente como,

pags2 = 2q2

La última ecuación sugiere que pags2 vale la pena. Esto es posible sólo si pags incluso él mismo. Esto a su vez significa que pags2 es divisible por 4. Desde allí, q2 y consecuentemente q tiene que ser justo. Asi que pags y q incluso los dos contrarios a nuestra suposición inicial de que no tienen factores comunes. Asi que, √2 no puede ser racional. QED

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